Sinus dan Cosinus Berdasarkan Lingkaran Satuan

Dalam trigonometri, lingkaran satuan didefinisikan sebagai lingkaran yang berpusat di titik asal O(0, 0) dengan jari-jari sebesar 1 satuan. Setiap titik yang berada pada lingkaran satuan memenuhi persamaan

x² + y² = 1

Selanjutnya, persamaan diatas disebut dengan persamaan lingkaran satuan.

Lingkaran Satuan

Definisi Sinus dan Cosinus pada Lingkaran Satuan 

Misalkan θ adalah sudut yang berada pada posisi baku. Jika sisi terminal sudut θ berpotongan dengan lingkaran satuan di titik P, maka koordinat titik P(x, y) didefinisikan

x = cos θ  dan  y = sin θ

Ketika θ berubah, posisi titik P akan berpindah mengikuti besar sudut θ dan tentunya nilai cos θ dan sin θ juga akan ikut berubah.

Tanda Trigonometri di Setiap Kuadran

Perhatikan diagram berikut !

Kuadran I dibatasi oleh sumbu x positif dan sumbu y positif. Akibatnya, untuk setiap titik (x, y) di kuadran I, koordinat x dan y akan bernilai positif. Karena x = cos θ dan y = sin θ, maka cos θ dan sin θ bernilai positif, untuk setiap θ di kuadran I.

Kuadran II dibatasi sumbu x negatif dan sumbu y positif. Jadi, untuk setiap θ di kuadran II, cos θ bernilai negatif dan sin θ bernilai positif.

Kuadran III dibatasi sumbu x negatif dan sumbu y negatif. Jadi, untuk setiap θ di kuadran III, cos θ bernilai negatif dan sin θ bernilai negatif.

Kuadran IV dibatasi sumbu x positif dan sumbu y negatif. Jadi, untuk setiap θ di kuadran IV, cos θ bernilai positif dan sin θ bernilai negatif.

Perbandingan Trigonometri Sudut Negatif

Perhatikan gambar berikut !

Berdasarkan definisi sinus dan cosinus pada lingkaran satuan, koordinat titik P dan P' adalah
P(cos θ, sin θ)
P'(cos (-θ), sin (-θ))   .......................(*)

Titik P' dapat kita pandang sebagai hasil pencerminan titik P(cos θ, sin θ) dengan sumbu x. Dengan demikian, koordinat titik P' adalah
P'(cos θ, -sin θ)   ............................(**)

Dari (*) dan (**) diperoleh persamaan
sin(-θ) = -sin θ
cos(-θ) = cos θ

Perbandingan Trigonometri Sudut Kuadrantal

Sudut kuadrantal adalah sudut dalam posisi baku dimana sisi terminalnya berada pada sumbu x atau sumbu y. Contohnya, sudut 0, 90°, 180°, 270° dan semua sudut yang koterminal dengan sudut-sudut tersebut. Secara umum, sudut kuadrantal dinyatakan dalam bentuk n.90°, dengan n bilangan bulat.

Perhatikan sudut-sudut kuadrantal berikut!

Berdasarkan definisi sinus dan cosinus pada lingkaran satuan, maka
A(cos 0°, sin 0°) = (1, 0)
B(cos 90°, sin 90°) = (0, 1)
C(cos 180°, sin 180°) = (-1, 0)
D(cos 270°, sin 270°) = (0, -1)

Berikut nilai sinus, cosinus dan tangen untuk sudut kuadrantal pada interval 0° − 360°.

θ	0°	90°	180°	270°	360°
sin θ	0	1	0	−1	0
cos θ	1	0	−1	0	1
tan θ	0	tdf	0	tdf	0

*tdf = tidak terdefinisi

Perbandingan Trigonometri Suatu Berelasi

Kita ambil contoh untuk relasi sudut α dan (180° - α). Secara geometri, relasi sudut α dan (180° - α) dapat kita gambarkan sebagai berikut.

Berdasarkan definisi sinus dan cosinus pada lingkaran satuan, koordinat titik P adalah
P(cos(180° - α), sin(180° - α))  .......................(*)

Perhatikan segitiga OPP' siku-siku di P'. Berdasarkan definisi perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku, maka
cos α = OP'/1   →   OP' = cos α
sin α = PP'/1    →   PP' = sin α

Titik P berada dikuadran II, dengan OP' = cos α dan PP' = sin α. Dengan demikian, koordinat titik P adalah
P(-cos α, sin α)   ..............................................(**)

Dari (*) dan (**) diperoleh persamaan
sin(180° - α) = sin α ...........................(1)
cos(180° - α) = -cos α .........................(2)

Untuk perbandingan trigonometri sudut-sudut relasi lainnya, dapat kita tentukan dengan cara yang sama seperti diatas (secara geometri), atau dapat pula dengan memanipulasi persamaan-persamaan yang telah diperoleh sebelumnya (secara aljabar). Sebagai contoh,

Persamaan (1) dapat ditulis menjadi
sin α = sin(180° - α)
Untuk α = 180° + θ, maka bentuk diatas menjadi
sin(180° + θ) = sin(180° - (180° + θ))
sin(180° + θ) = sin(-θ)   
sin(180° + θ) = -sin θ   ...........................(i)

Persamaan (2) dapat ditulis menjadi
cos α = -cos(180° - α)
Untuk α = 180° + θ, maka bentuk diatas menjadi
cos(180° + θ) = -cos(180° - (180° + θ))
cos(180° + θ) = -cos(-θ)
cos(180° + θ) = -cos θ   ...........................(ii)

Jika sudut θ pada persamaan (i) dan (ii) kita ganti dengan α, akan diperoleh
sin(180° + α) = -sin α .......................(3)
cos(180° + α) = -cos α ......................(4)

Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut yang Koterminal

Kita tahu bahwa sisi terminal sudut-sudut yang koterminal berada pada posisi yang sama (berhimpit). Akibatnya, sisi terminal sudut-sudut yang koterminal akan memotong lingkaran satuan di titik yang sama. Kita ambil contoh sudut 30° dan -330°.

Mengacu pada definisi sinus dan cosinus pada lingkaran satuan, maka
x = cos 30° = cos(-330°)
y = sin 30° = sin(-330°)

Secara umum dapat kita simpulkan bahwa,  jika α koterminal dengan β maka
sin α = sin β
cos α = cos β

Karena sudut α koterminal dengan (α + k.360°), maka
sin(α + k.360°) = sin α
cos(α + k.360°) = cos α
dengan k bilangan bulat.

Untuk contoh-contoh yang berkaitan dengan persamaan atau sifat-sifat diatas, dapat dibaca pada materi perbandingan trigonometri sudut berelasi.

Share this post