Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat
Sunday, August 28, 2016
Edit
Persamaan kuadrat adalah suatu bentuk persamaan dengan pangkat tertinggi variabelnya adalah dua. Bentuk umum persamaan kuadrat dinyatakan sebagai berikut : $$\mathrm{ax^{2}+bx+c=0}$$ dengan a, b, c bilangan real dan a ≠ 0
Penyelesaian suatu persamaan kuadrat disebut akar-akar persamaan kuadrat, yaitu nilai-nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat.
Secara umum ada 3 cara yang digunakan dalam menentukan akar-akar persamaan kuadrat, yaitu :
Contoh 1
Tentukan akar-akar dari x2 + 5x + 6 = 0
Jawab :
a = 1 ; b = 5 ; c = 6
p + q = 5
p × q = 6
p dan q yang memenuhi adalah 3 dan 2, karena :
3 + 2 = 5
3 × 2 = 6
Faktornya adalah :
(x + 3)(x + 2) = 0
Akar-akarnya adalah :
x + 3 = 0 atau x + 2 = 0
x = -3 atau x = -2
Contoh 2
Tentukan akar-akar dari x2 + 2x − 3 = 0
Jawab :
p + q = 2
p × q = -3
Nilai p dan q yang memenuhi adalah 3 dan −1, sehingga faktornya adalah :
(x + 3)(x − 1) = 0
Akar-akarnya adalah :
x + 3 = 0 atau x − 1 = 0
x = -3 atau x = 1
Jika contoh-contoh diatas telah dipahami dan dikuasai dengan baik, secara sederhana akar-akar persamaan kuadrat dapat kita tentukan seperti contoh berikut.
Contoh 3
Tentukan akar-akar dari x2 − 8x + 15 = 0
Jawab :
x2 − 8x + 15 = 0
(x − 3)(x − 5) = 0 (faktor)
x = 3 atau x = 5 (akar)
Faktor dari \(\mathrm{ax^{2}+bx+c=0}\) dengan a > 1 dapat dinyatakan dalam bentuk : $$\mathrm{\frac{\left ( ax+p \right )\left ( ax+q \right )}{a}=0}$$ Nilai p dan q diperoleh dengan ketentuan :
p + q = b
p × q = ac
Contoh 4
Tentukan akar-akar dari 2x2 + 5x − 3 = 0
Jawab :
a = 2 ; b = 5 ; c = −3
p + q = 5
p × q = 2 (−3) = −6
Nilai p dan q yang memenuhi adalah 6 dan −1.
Faktornya adalah : $$\mathrm{\frac{\left ( {\color{Green} 2}x{\color{Red} +6} \right )\left ( {\color{Green} 2}x{\color{Red} -1} \right )}{{\color{Green} 2}}=0}$$ $$\mathrm{\frac{2(x+3)\,(2x-1)}{2}}$$ $$\mathrm{(x+3)(2x-1)=0}$$
Akar-akarnya adalah : $$\mathrm{x +3 = 0\; atau\; 2x − 1 = 0}$$ $$\mathrm{x = −3\; atau\; x = \frac{1}{2}}$$
Contoh 5
Tentukan akar-akar dari 6x2 − x − 2 = 0
Jawab :
p + q = −1
p × q = −12
Nilai p dan q yang memenuhi adalah 3 dan −4.
Faktornya adalah : $$\mathrm{\frac{\left ( {\color{Green} 6}x{\color{Red} +3} \right )\left ( {\color{Green} 6}x{\color{Red} -4} \right )}{{\color{Green} 6}}=0}$$ $$\mathrm{\frac{3(2x+1)\,2(3x-2)}{6}}$$ $$\mathrm{\left ( 2x+1 \right )\left ( 3x-2 \right )=0}$$
Akar-akarnya adalah : $$\mathrm{2x+1=0\;atau\;3x-2=0}$$ $$\mathrm{x=-\frac{1}{2}\;atau\;x=\frac{2}{3}}$$
Melengkapkan kuadrat disini maksudnya adalah merubah salah satu ruas menjadi bentuk kuadrat sempurna (x + p)2.
Bentuk diatas jika dijabarkan akan diperoleh :
(x + p)2 = x2 + 2px + p2
dengan a = 1 , b = 2p dan c = p2
Jika kita perhatikan, koefisien c merupakan kuadrat dari setengah koefisien b, di tulis \(\mathrm{c=\left ( \frac{b}{2} \right )^{2}}\).
Dari uraian diatas dapat disimpulkan bahwa persamaan kuadrat \(\mathrm{ax^{2}+bx+c=0}\) dengan a = 1 dapat dinyatakan dalam bentuk kuadrat sempurna jika memenuhi : $$\mathrm{c=\left ( \frac{b}{2} \right )^{2}}$$ dengan kuadrat sempurnanya dinyatakan dalam bentuk $$\mathrm{\left ( x+\frac{b}{2} \right )^{2}}$$
Contoh 6
Tentukan akar-akar dari x² − 4x + 1 = 0
Penyelesaian :
Ruas kiri pada persamaan diatas belum dapat diubah ke dalam bentuk kuadrat sempurna, karena \(\mathrm{c\neq \left ( \frac{b}{2} \right )^{2}}\). Solusinya adalah kedua ruas harus ditambahkan dengan (\(\mathrm{\frac{b}{2}}\))2, dengan terlebih dahulu memindahkan konstanta c ke ruas kanan.
x² − 4x = −1
x² − 4x + (\(\mathrm{\frac{-4}{2}}\))2 = −1 + (\(\mathrm{\frac{-4}{2}}\))2
x² − 4x + 4 = 3
Sekarang ruas kiri telah dapat diubah ke dalam bentuk kuadrat sempurna menjadi :
(x − 2)2 = 3
Dengan menarik akar pada kedua ruas diperoleh :
x − 2 = ±√3
x = 2 ±√3
Jadi, akar-akarnya adalah :
x = 2 + √3 atau x = 2 − √3
Untuk PK dengan a ≠ 1, langkah awal yang harus dilakukan adalah membagi atau mengalikan kedua ruas dengan suatu bilangan sehingga diperoleh a = 1.
Contoh 7
Tentukan akar-akar dari 4x² + 4x − 7 = 0
Penyelesaian :
Dengan membagi kedua ruas pada PK diatas dengan 4, akan diperoleh :
x² + x − \(\frac{7}{4}\) = 0
Pada tahap ini, langkah-langkahnya sama dengan contoh sebelumnya.
x² + x = \(\frac{7}{4}\)
(x+ \(\frac{1}{2}\))2 = 2
Jadi, akar-akarnya adalah
x = −\(\mathbf{\frac{1}{2}}\) + √2 atau x = −\(\mathbf{\frac{1}{2}}\) − √2
Contoh 8
Tentukan akar-akar dari \(-\frac{1}{2}\)x² + x + 1 = 0
Penyelesaian :
Agar nilai a pada PK diatas bernilai 1, maka bagi kedua ruas dengan \(-\frac{1}{2}\) atau kalikan kedua ruas dengan −2, sehingga diperoleh :
x² − 2x − 2 = 0
x² − 2x = 2
x² − 2x + (\(\frac{-2}{2}\))2 = 2 + (\(\frac{-2}{2}\))2
x² − 2x + 1 = 3
Dengan merubah bentuk \(\mathrm{ax^{2}+bx+c=0}\) ke dalam bentuk kuadrat sempurna akan diperoleh rumus kuadrat sebagai berikut :$$\mathrm{x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac} }{2a}}$$
Contoh 9Tentukan akar-akar dari x² + 4x + 1 = 0
Jawab :
a = 1
b = 4
c = 1
x1,2 = \(\mathrm{\frac{-4\pm\sqrt{4^{2}-4.1.1} }{2.1}}\)
x1,2 = \(\mathrm{\frac{-4\pm\sqrt{12} }{2}}\)
x1,2 = \(\mathrm{\frac{-4\pm2\sqrt{3} }{2}}\)
x1 = \(\mathrm{-2+\sqrt{3}}\)
x2 = \(\mathrm{-2-\sqrt{3}}\)
Contoh 10
Tentukan akar-akar dari x² − 5x − 104 = 0
Jawab :
a = 1
b = −5
c = −104
x1,2 = \(\mathrm{\frac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^{2}-4.1.(-104)} }{2.1}}\)
x1,2 = \(\mathrm{\frac{5\pm\sqrt{441} }{2}}\)
x1,2 = \(\mathrm{\frac{5\pm21 }{2}}\)
x1 = \(\mathrm{\frac{5+21 }{2}}\) = 13
x2 = \(\mathrm{\frac{5-21 }{2}}\) = −8
Materi menentukan akar-akar persamaan kuadrat dapat ditemukan pada hampir semua materi matematika SMA, terutama metode pemfaktoran. Untuk itu sangat direkomendasikan untuk dipahami dan dikuasai dengan baik.
Penyelesaian suatu persamaan kuadrat disebut akar-akar persamaan kuadrat, yaitu nilai-nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat.
Secara umum ada 3 cara yang digunakan dalam menentukan akar-akar persamaan kuadrat, yaitu :
- Memfaktorkan
- Melengkapkan kuadrat
- Rumus kuadrat
Memfaktorkan
Faktor dari \(\mathrm{ax^{2}+bx+c=0}\) dengan a = 1 dapat dinyatakan dalam bentuk : $$\mathrm{\left ( x+p \right )\left ( x+q \right )=0}$$ Nilai p dan q diperoleh dengan ketentuan :
p + q = b
p × q = c
Akar-akar persamaan kuadrat diperoleh dengan menyatakan kedua faktor yang diperoleh sama dengan nol. $$\mathrm{x + p = 0\; atau\; x + q = 0}$$ Nilai-nilai x yang diperoleh dari persamaan diatas adalah akar-akar persamaan kuadrat.
p × q = c
Akar-akar persamaan kuadrat diperoleh dengan menyatakan kedua faktor yang diperoleh sama dengan nol. $$\mathrm{x + p = 0\; atau\; x + q = 0}$$ Nilai-nilai x yang diperoleh dari persamaan diatas adalah akar-akar persamaan kuadrat.
Contoh 1
Tentukan akar-akar dari x2 + 5x + 6 = 0
Jawab :
a = 1 ; b = 5 ; c = 6
p + q = 5
p × q = 6
p dan q yang memenuhi adalah 3 dan 2, karena :
3 + 2 = 5
3 × 2 = 6
Faktornya adalah :
(x + 3)(x + 2) = 0
Akar-akarnya adalah :
x + 3 = 0 atau x + 2 = 0
x = -3 atau x = -2
Contoh 2
Tentukan akar-akar dari x2 + 2x − 3 = 0
Jawab :
p + q = 2
p × q = -3
Nilai p dan q yang memenuhi adalah 3 dan −1, sehingga faktornya adalah :
(x + 3)(x − 1) = 0
Akar-akarnya adalah :
x + 3 = 0 atau x − 1 = 0
x = -3 atau x = 1
Jika contoh-contoh diatas telah dipahami dan dikuasai dengan baik, secara sederhana akar-akar persamaan kuadrat dapat kita tentukan seperti contoh berikut.
Contoh 3
Tentukan akar-akar dari x2 − 8x + 15 = 0
Jawab :
x2 − 8x + 15 = 0
(x − 3)(x − 5) = 0 (faktor)
x = 3 atau x = 5 (akar)
Faktor dari \(\mathrm{ax^{2}+bx+c=0}\) dengan a > 1 dapat dinyatakan dalam bentuk : $$\mathrm{\frac{\left ( ax+p \right )\left ( ax+q \right )}{a}=0}$$ Nilai p dan q diperoleh dengan ketentuan :
p + q = b
p × q = ac
Contoh 4
Tentukan akar-akar dari 2x2 + 5x − 3 = 0
Jawab :
a = 2 ; b = 5 ; c = −3
p + q = 5
p × q = 2 (−3) = −6
Nilai p dan q yang memenuhi adalah 6 dan −1.
Faktornya adalah : $$\mathrm{\frac{\left ( {\color{Green} 2}x{\color{Red} +6} \right )\left ( {\color{Green} 2}x{\color{Red} -1} \right )}{{\color{Green} 2}}=0}$$ $$\mathrm{\frac{2(x+3)\,(2x-1)}{2}}$$ $$\mathrm{(x+3)(2x-1)=0}$$
Akar-akarnya adalah : $$\mathrm{x +3 = 0\; atau\; 2x − 1 = 0}$$ $$\mathrm{x = −3\; atau\; x = \frac{1}{2}}$$
Contoh 5
Tentukan akar-akar dari 6x2 − x − 2 = 0
Jawab :
p + q = −1
p × q = −12
Nilai p dan q yang memenuhi adalah 3 dan −4.
Faktornya adalah : $$\mathrm{\frac{\left ( {\color{Green} 6}x{\color{Red} +3} \right )\left ( {\color{Green} 6}x{\color{Red} -4} \right )}{{\color{Green} 6}}=0}$$ $$\mathrm{\frac{3(2x+1)\,2(3x-2)}{6}}$$ $$\mathrm{\left ( 2x+1 \right )\left ( 3x-2 \right )=0}$$
Akar-akarnya adalah : $$\mathrm{2x+1=0\;atau\;3x-2=0}$$ $$\mathrm{x=-\frac{1}{2}\;atau\;x=\frac{2}{3}}$$
Melengkapkan Kuadrat
Menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat merupakan salah satu alternatif jika akar-akar persamaan kuadrat memuat bentuk akar (irasional) sehingga sulit untuk difaktorkan.Melengkapkan kuadrat disini maksudnya adalah merubah salah satu ruas menjadi bentuk kuadrat sempurna (x + p)2.
Bentuk diatas jika dijabarkan akan diperoleh :
(x + p)2 = x2 + 2px + p2
dengan a = 1 , b = 2p dan c = p2
Dari uraian diatas dapat disimpulkan bahwa persamaan kuadrat \(\mathrm{ax^{2}+bx+c=0}\) dengan a = 1 dapat dinyatakan dalam bentuk kuadrat sempurna jika memenuhi : $$\mathrm{c=\left ( \frac{b}{2} \right )^{2}}$$ dengan kuadrat sempurnanya dinyatakan dalam bentuk $$\mathrm{\left ( x+\frac{b}{2} \right )^{2}}$$
Contoh 6
Tentukan akar-akar dari x² − 4x + 1 = 0
Penyelesaian :
Ruas kiri pada persamaan diatas belum dapat diubah ke dalam bentuk kuadrat sempurna, karena \(\mathrm{c\neq \left ( \frac{b}{2} \right )^{2}}\). Solusinya adalah kedua ruas harus ditambahkan dengan (\(\mathrm{\frac{b}{2}}\))2, dengan terlebih dahulu memindahkan konstanta c ke ruas kanan.
x² − 4x = −1
x² − 4x + (\(\mathrm{\frac{-4}{2}}\))2 = −1 + (\(\mathrm{\frac{-4}{2}}\))2
x² − 4x + 4 = 3
Sekarang ruas kiri telah dapat diubah ke dalam bentuk kuadrat sempurna menjadi :
(x − 2)2 = 3
Dengan menarik akar pada kedua ruas diperoleh :
x − 2 = ±√3
x = 2 ±√3
Jadi, akar-akarnya adalah :
x = 2 + √3 atau x = 2 − √3
Untuk PK dengan a ≠ 1, langkah awal yang harus dilakukan adalah membagi atau mengalikan kedua ruas dengan suatu bilangan sehingga diperoleh a = 1.
Contoh 7
Tentukan akar-akar dari 4x² + 4x − 7 = 0
Penyelesaian :
Dengan membagi kedua ruas pada PK diatas dengan 4, akan diperoleh :
x² + x − \(\frac{7}{4}\) = 0
Pada tahap ini, langkah-langkahnya sama dengan contoh sebelumnya.
x² + x = \(\frac{7}{4}\)
x² + x + (\(\frac{1}{2}\))2 = \(\frac{7}{4}\) + (\(\frac{1}{2}\))2
x² + x + \(\frac{1}{4}\) = 2
(x
x + \(\frac{1}{2}\) = ±√2
x = −\(\frac{1}{2}\) ±√2
x = −\(\frac{1}{2}\) ±√2
Jadi, akar-akarnya adalah
x = −\(\mathbf{\frac{1}{2}}\) + √2 atau x = −\(\mathbf{\frac{1}{2}}\) − √2
Contoh 8
Tentukan akar-akar dari \(-\frac{1}{2}\)x² + x + 1 = 0
Penyelesaian :
Agar nilai a pada PK diatas bernilai 1, maka bagi kedua ruas dengan \(-\frac{1}{2}\) atau kalikan kedua ruas dengan −2, sehingga diperoleh :
x² − 2x − 2 = 0
x² − 2x = 2
x² − 2x + (\(\frac{-2}{2}\))2 = 2 + (\(\frac{-2}{2}\))2
x² − 2x + 1 = 3
(x − 1)2 = 3
x − 1 = ±√3
x = 1 ±√3
Jadi, akar-akarnya adalah
x = 1 + √3 atau x = 1 − √3x = 1 ±√3
Jadi, akar-akarnya adalah
Rumus Kuadrat
Sama halnya dengan melengkapkan kuadrat, rumus kuadrat atau sering disebut rumus abc ini juga dapat menjadi alternatif dalam menentukan akar-akar persamaan kuadrat dimana akar-akarnya memuat bentuk akar (irasional). Atau untuk persamaan kuadrat yang sebenarnya bisa difaktorkan, tetapi sulit untuk difaktorkan karena memuat nilai-nilai a, b, c yang cukup besar.
Dengan merubah bentuk \(\mathrm{ax^{2}+bx+c=0}\) ke dalam bentuk kuadrat sempurna akan diperoleh rumus kuadrat sebagai berikut :$$\mathrm{x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac} }{2a}}$$
Contoh 9
Jawab :
a = 1
b = 4
c = 1
x1,2 = \(\mathrm{\frac{-4\pm\sqrt{4^{2}-4.1.1} }{2.1}}\)
x1,2 = \(\mathrm{\frac{-4\pm\sqrt{12} }{2}}\)
x1,2 = \(\mathrm{\frac{-4\pm2\sqrt{3} }{2}}\)
x1,2 = \(\mathrm{-2\pm\sqrt{3}}\)
x1 = \(\mathrm{-2+\sqrt{3}}\)
x2 = \(\mathrm{-2-\sqrt{3}}\)
Contoh 10
Tentukan akar-akar dari x² − 5x − 104 = 0
Jawab :
a = 1
b = −5
c = −104
x1,2 = \(\mathrm{\frac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^{2}-4.1.(-104)} }{2.1}}\)
x1,2 = \(\mathrm{\frac{5\pm\sqrt{441} }{2}}\)
x1,2 = \(\mathrm{\frac{5\pm21 }{2}}\)
x1 = \(\mathrm{\frac{5+21 }{2}}\) = 13
x2 = \(\mathrm{\frac{5-21 }{2}}\) = −8
Materi menentukan akar-akar persamaan kuadrat dapat ditemukan pada hampir semua materi matematika SMA, terutama metode pemfaktoran. Untuk itu sangat direkomendasikan untuk dipahami dan dikuasai dengan baik.