Persamaan Lingkaran
Saturday, December 24, 2016
Edit
Persamaan lingkaran dengan pusat (0, 0) dan jari-jari r adalah
x2 + y2 = r2
Persamaan lingkaran dengan pusat (a, b) dan jari-jari r adalah
(x - a)2 + (y - b)2 = r2
Persamaan diatas sering disebut dengan bentuk baku persamaan lingkaran.
Contoh 1
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran berikut!
a. x2 + y2 = 9
Jawab :
P(0,0)
r = √9 = 3
b. 4x2 + 4y2 = 100
Jawab :
4x2 + 4y2 = 100 ⇔ x2 + y2 = 25
P(0, 0)
r = √25 = 5
c. (x − 1)2 + (y − 2)2 = 12
Jawab :
P(1, 2)
r = √12 = 2√3
d. (x + 3)2 + (y − 4)2 = 16
Jawab :
P(−3, 4)
r = √16 = 4
Contoh 2
Tentukan persamaan lingkaran jika diketahui :
a. P(0, 0) ; r = 7
Jawab :
x2 + y2 = 72
x2 + y2 = 49
b. P(2, −2) ; r = 3√2
Jawab :
(x − 2)2 + (y + 2)2 = (3√2)2
(x − 2)2 + (y + 2)2 = 18
Selain dalam bentuk baku diatas, persamaan lingkaran dapat pula dinyatakan dalam bentuk umum sebagai berikut :
x2 + y2 + Ax + By + C= 0
dengan pusat dan jari-jarinya adalah
\(\mathrm{P=\left ( -\frac{A}{2},\;-\frac{B}{2} \right )}\)
\(\mathrm{r=\sqrt{\frac{A^{2}}{4}+\frac{B^{2}}{4}-C}}\)
Contoh 3
Tentukan bentuk umum persamaan lingkaran yang berpusat di P(−1, 3) dengan jari-jari 7 !
Jawab :
(x + 1)2 + (y − 3)2 = 72
x2 + 2x + 1 + y2 − 6y + 9 = 49
x2 + y2 + 2x − 6y − 39 = 0
Contoh 4
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran \(\mathrm{x^{2}+y^{2}-6x+2y-15=0}\) !
Jawab :
A = −6 ; B = 2 ; C = −15
Pusat lingkaran :
P\(\mathrm{(-\frac{A}{2},-\frac{B}{2})}\)
P\(\mathrm{(-\frac{(-6)}{2},-\frac{2}{2})}\) ⇔ P(3, −1)
Jari-jari lingkaran :
r = \(\mathrm{\sqrt{\frac{A^{2}}{4}+\frac{B^{2}}{4}-C}}\)
r = \(\mathrm{\sqrt{\frac{(-6)^{2}}{4}+\frac{2^{2}}{4}-(-15)}}\) = 5
Latihan Soal Persamaan Lingkaran
Latihan 1Persamaan lingkaran yang berpusat di (−2, 1) dan melalui titik (1, 5) adalah...
Jawab :
(x + 2)2 + (y − 1)2 = r2
Lingkaran melalui titik (1, 5) sehingga :
(1 + 2)2 + (5 − 1)2 = r2
25 = r2
Jadi, persamaan lingkaran :
(x + 2)2 + (y − 1)2 = 25
atau dalam bentuk umum :
x2 + y2 + 4x − 2y − 20 = 0
Latihan 2
Jika diameter suatu lingkaran adalah AB dengan titik A(4, 5) dan B(0, −3), tentukan persamaan lingkaran tersebut !
Jawab :
Diameter adalah jarak titik A ke titik B :
d = AB = \(\mathrm{\sqrt{(4-0)^{2}+(5-(-3))^{2}}}\) = \(\sqrt{80}\)
Jari-jari adalah setengah dari diameter :
r = \(\frac{1}{2}\)\(\sqrt{80}\)
Pusat lingkaran adalah titik tengah AB :
P\(\left ( \frac{4+0}{2},\frac{5+(-3)}{2} \right )\) ⇔ P(2, 1)
Jadi, persamaan lingkaran :
(x − 2)2 + (y − 1)2 = \(\left (\frac{1}{2}\sqrt{80} \right )^{2}\)
(x − 2)2 + (y − 1)2 = 20
atau dalam bentuk umum :
x2 + y2 − 4x − 2y − 15 = 0
Latihan 3
Persamaan lingkaran yang berpusat di (−2, 3) dan menyinggung garis \(\mathrm{x+2y+6=0}\) adalah...
Jawab :
INGAT :
Jarak titik (x1, x2) ke garis \(\mathrm{ax+by+c=0}\) adalah
d = \(\mathrm{\left | \frac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right |}\)
Jari-jari adalah jarak dari titik pusat (−2, 3) ke garis \(\mathrm{x+2y+6=0}\).
r = \(\mathrm{\left | \frac{1(-2)+2(3)+6}{\sqrt{1^{2}+2^{2}}} \right |}\) = 2\(\sqrt{5}\)
Jadi, persamaan lingkaran :
(x + 2)2 + (y − 3)2 = \(\left ( 2\sqrt{5} \right )^{2}\)
(x + 2)2 + (y − 3)2 = 20
atau dalam bentuk umum :
x2 + y2 + 4x − 6y − 7 = 0
Latihan 4
Jika garis y = 2x + p menyinggung lingkaran \(\mathrm{x^{2}+y^{2}-6x-4y+8=0}\), tentukan nilai p !
Jawab :
Substitusi y = 2x + p ke persamaan lingkaran :
x2 + y2 − 6x − 4y + 8 = 0
x2 + (2x + p)2 − 6x − 4(2x + p) + 8 = 0
5x2 + (4p − 14)x + p2 − 4p + 8 = 0
Garis menyinggung lingkaran, maka :
D = 0
b2 − 4ac = 0
(4p − 14)2 − 4.5.(p2 − 4p + 8) = 0
p2 + 8p − 9 = 0
(p + 9)(p − 1) = 0
p = −9 atau p = 1
Latihan 5
Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (3, 4) dan lingkaran tersebut
a. menyinggung sumbu-x
b. menyinggung sumbu-y
Jawab :
a. P(3, 4) dan menyinggung sumbu-x, maka
r = 4
Persamaan lingkaran :
(x − 3)2 + (y − 4)2 = 42
(x − 3)2 + (y − 4)2 = 16
atau dalam bentuk umum :
x2 + y2 − 6x − 8y + 9 = 0
b. P(3, 4) dan menyinggung sumbu-y, maka
r = 3
Persamaan lingkaran :
(x − 3)2 + (y − 4)2 = 32
(x − 3)2 + (y − 4)2 = 9
atau dalam bentuk umum :
x2 + y2 − 6x − 8y + 16 = 0
Latihan 6
Tentukan persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada garis \(\mathrm{y=x+4}\) serta menyinggung sumbu-x negatif dan sumbu-y positif !
Jawab :
Lingkaran menyinggung sumbu-x negatif dan sumbu-y positif, sehingga pusatnya dapat ditulis :
P(−a, b) dengan a = b.
Karena P(−a, b) terletak pada garis \(\mathrm{y=x+4}\) maka
b = −a + 4
Karena a = b maka
b = −a + 4
a = −a + 4
a = 2
Diperoleh a = b = 2
Sehingga pusat lingkaran tersebut adalah :
P(−a, b) ⇔ P(−2, 2)
Karena lingkaran menyinggung kedua sumbu, maka
r = |a| = |b| = 2
Jadi, persamaan lingkaran :
(x + 2)2 + (y − 2)2 = 22
(x + 2)2 + (y − 2)2 = 4
atau dalam bentuk umum :
x2 + y2 + 4x − 4y + 4 = 0