Rumus Trigonometri Sudut Ganda

Sudut ganda atau sudut rangkap dua biasa dinyatakan dalam sudut 2α. Perbandingan trigonometri untuk sudut ganda, yaitu sin 2α, cos 2α dan tan 2α dapat kita nyatakan dalam perbandingan trigonometri sudut tunggalnya, yaitu sudut α. Ekspresi trigonometri yang melibatkan sudut 2α dan sudut α inilah yang nantinya kita sebut dengan rumus trigonometri sudut ganda.

Rumus sudut ganda dapat dengan mudah kita turunkan dari rumus jumlah dan selisih dua sudut, dalam hal ini sin (α + β), cos (α + β) dan tan (α + β).

Penurunan Rumus Sinus Sudut Ganda

Coba perhatikan kembali rumus sin (α + β).

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

Jika α = β, maka rumus diatas menjadi

sin (α + α) = sin α cos α + cos α sin α

Karena α + α = 2α dan sin α cos α = cos α sin α, maka persamaan diatas menjadi

sin 2α = 2sin α cos α

Penurunan Rumus Cosinus Sudut Ganda

Coba perhatikan kembali rumus cos (α + β).

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

Jika α = β, maka rumus diatas menjadi

cos (α + α) = cos α cos α - sin α sin α

atau dapat kita tulis

cos 2α = cos²α - sin²α

Jika kita substitusikan sin²α = 1 - cos²α pada persamaan diatas kemudian kita sederhanakan, maka akan diperoleh

cos 2α = 2cos²α - 1

Jika kita substitusikan cos²α = 1 - sin²α pada persamaan diatas kemudian kita sederhanakan, maka akan diperoleh

cos 2α = 1 - 2sin²α

Penurunan Rumus Tangen Sudut Ganda

Coba perhatikan kembali rumus tan (α + β). $$tan\,(\alpha +\beta )=\frac{tan\,\alpha +tan\,\beta }{1-tan\,\alpha\cdot  tan\,\beta }$$ Jika α = β, maka rumus diatas menjadi $$tan\,(\alpha +\alpha )=\frac{tan\,\alpha +tan\,\alpha }{1-tan\,\alpha\cdot  tan\,\alpha }$$ atau dapat kita tulis $$\mathbf{{ tan\,2\alpha=\frac{2\,tan\,\alpha}{1\,-\,tan^{2}\alpha}}}$$

Rumus trigonometri sudut ganda akan sangat berguna dalam menyederhanakan ekspresi-ekspresi trigonometri nantinya, khususnya pada pokok bahasan yang melibatkan fungsi trigonometri seperti limit, turunan, integral dan persamaan trigonometri.

Berikut contoh-contoh soal yang dapat kita jadikan latihan dalam menggunakan dan memanipulasi rumus-rumus sudut ganda menjadi bentuk-bentuk lain yang masih tetap ekuivalen.


 Contoh 1 
Tentukan nilai dari sin 2α, cos 2α dan tan 2α jika diketahui sin α = 3/5, dengan α lancip!

Jawab :
Diketahui sin α = 3/5. Dengan menggunakan perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku akan diperoleh cos α = 4/5 dan tan α = 3/4.

sin 2α = 2sin α cos α
sin 2α = 2(\(\frac{3}{5}\))(\(\frac{4}{5}\))
sin 2α = \(\frac{24}{25}\)

cos 2α = cos²α - sin²α
cos 2α = (\(\frac{4}{5}\))² - (\(\frac{3}{5}\))²
cos 2α = \(\frac{7}{25}\)

tan 2α = \(\mathrm{\frac{2\,tan\,\alpha }{1\,-\,tan^{2}\alpha }}\)
tan 2α = \(\mathrm{\frac{2\left ( \frac{3}{4} \right ) }{1\,-\,\left ( \frac{3}{4} \right )^{2} }}\)
tan 2α = \(\frac{24}{7}\)



 Contoh 2 
Diketahui sin α = p dan cos β = q.
Nyatakan \(\frac{1}{2}\)(cos 2α + cos 2β) dalam p dan q.

Jawab :
cos 2α  =  1 - 2sin²α  =  1 - 2p²
cos 2β  =  2cos²β - 1  =  2q² - 1

\(\frac{1}{2}\)(cos 2α + cos 2β) = \(\frac{1}{2}\)(1 - 2p² + 2q² - 1)
\(\frac{1}{2}\)(cos 2α + cos 2β) = \(\frac{1}{2}\)(2q² - 2p²)
\(\frac{1}{2}\)(cos 2α + cos 2β) = q² - p²



 Contoh 3 
Jika sin x = \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) dengan 45° < x < 90°, maka cos 2x = ...

Jawab :
cos 2x = 1 - 2sin²x
cos 2x = 1 - 2\(\left (\frac{\sqrt{3}}{3}  \right )^{2}\)
cos 2x = \(\frac{1}{3}\)

Karena 45° < x < 90° maka 90° < 2x < 180°. Akibatnya, cos 2x akan bernilai negatif. Jadi, cos 2x = -\(\frac{1}{3}\).



 Contoh 4 
Diketahui segitiga sama kaki ABC dengan ∠A = ∠B = α dan  ∠C = θ. Jika cos α = 4/5, maka tan θ = ...

Jawab :
Diketahui cos α = 4/5. Dengan menggunakan perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku akan diperoleh tan α = 3/4.

∠A + ∠B + ∠C = 180°
α + α + θ = 180°
⇒ θ = 180° - 2α

tan θ = tan (180° - 2α)
tan θ = -tan 2α
tan θ = -\(\mathrm{ \frac{2\,tan\,\alpha }{1\,-\,tan^{2}\alpha } }\)
tan θ = -\(\mathrm{\frac{2\left ( \frac{3}{4} \right ) }{1\,-\,\left ( \frac{3}{4} \right )^{2} }}\)
tan θ = -\(\frac{24}{7}\)



 Contoh 5 
Gunakan rumus sinus sudut ganda untuk menyederhakankan bentuk-bentuk berikut!

(a)  8sin 3x cos 3x
Jawab :
8sin 3x cos 3x = 4 . 2sin 3x cos 3x
8sin 3x cos 3x = 4 . sin 2(3x)
8sin 3x cos 3x = 4sin 6x

(b)  cos 5x sin 5x
Jawab :
cos 5x sin 5x = \(\frac{1}{2}\) . 2sin 5x cos 5x
cos 5x sin 5x = \(\frac{1}{2}\) . sin 2(5x)
cos 5x sin 5x = \(\frac{1}{2}\) sin 10x

(c)  (sin 4x - cos 4x)² = 1 - sin 8x
Jawab :
(sin 4x - cos 4x)² = (sin 4x - cos 4x)(sin 4x - cos 4x)
(sin 4x - cos 4x)² = sin²4x + cos²4x - 2sin 4x cos 4x
(sin 4x - cos 4x)² = 1 - sin 2(4x)
(sin 4x - cos 4x)² = 1 - sin 8x



 Contoh 6 
Tentukan nilai eksak dari

(a)  sin\(\left ( \frac{3\pi }{8} \right )\) cos\(\left ( \frac{3\pi }{8} \right )\)
Jawab :
sin\(\left ( \frac{3\pi }{8} \right )\) cos\(\left ( \frac{3\pi }{8} \right )\) = \(\frac{1}{2}\) . 2sin\(\left ( \frac{3\pi }{8} \right )\) cos\(\left ( \frac{3\pi }{8} \right )\)
sin\(\left ( \frac{3\pi }{8} \right )\) cos\(\left ( \frac{3\pi }{8} \right )\) = \(\frac{1}{2}\) . sin 2\(\left ( \frac{3\pi }{8} \right )\)
sin\(\left ( \frac{3\pi }{8} \right )\) cos\(\left ( \frac{3\pi }{8} \right )\) = \(\frac{1}{2}\) . sin \(\left ( \frac{3\pi }{4} \right )\)
sin\(\left ( \frac{3\pi }{8} \right )\) cos\(\left ( \frac{3\pi }{8} \right )\) = \(\frac{1}{2}\) . \(\frac{1}{2}\)√2
sin\(\left ( \frac{3\pi }{8} \right )\) cos\(\left ( \frac{3\pi }{8} \right )\) = \(\frac{1}{4}\)√2

(b)  4cos²15° - 3
Jawab :
4cos²15° - 3 =  4cos²15° - 2  - 1
4cos²15° - 3 =  2 (2cos²15° - 1)  - 1
4cos²15° - 3 =  2 cos 2(15°)  - 1
4cos²15° - 3 =  2 cos 30°  - 1
4cos²15° - 3 =  2 (\(\frac{1}{2}\)√3)  - 1
4cos²15° - 3 =  √3 - 1



 Contoh 7 
Tunjukkan bahwa

(a)  sin²α = \(\frac{1}{2}\)(1 - cos 2α)
Jawab :
cos 2α = 1 - 2sin²α
⇔ 2sin²α = 1 - cos 2α
⇔ sin²α = \(\frac{1}{2}\)(1 - cos 2α)

(b)  cos²α = \(\frac{1}{2}\)(1 + cos 2α)
Jawab :
cos 2α = 2cos²α - 1
⇔ 2cos²α = 1 + cos 2α
⇔ cos²α = \(\frac{1}{2}\)(1 + cos 2α)




 Contoh 8 
Nyatakan cos²2x dan cos⁴x dalam suatu ekspresi yang melibatkan fungsi trigonometri dengan pangkat tertinggi satu ! (Gunakan sifat pada contoh 7)

Jawab :
Berdasarkan sifat cos²α = \(\frac{1}{2}\)(1 + cos 2α) maka
cos²2x = \(\frac{1}{2}\)(1 + cos 2(2x))
cos²2x = \(\frac{1}{2}\)(1 + cos 4x)

cos⁴x = (cos²x)²
cos⁴x = (\(\frac{1}{2}\)(1 + cos 2x))²
cos⁴x = \(\frac{1}{4}\)(1 + 2cos 2x + cos²2x)
cos⁴x = \(\frac{1}{4}\)(1 + 2cos 2x + \(\frac{1}{2}\)(1 + cos 4x))
cos⁴x = \(\frac{1}{4}\)(\(\frac{3}{2}\) + 2cos 2x + \(\frac{1}{2}\)cos 4x)
cos⁴x = \(\frac{3}{8}\) + \(\frac{1}{2}\)cos 2x + \(\frac{1}{8}\)cos 4x



 Contoh 9 
Tunjukkan bahwa 1 - cos nx = 2sin²(\(\mathrm{\frac{nx}{2}}\)), n konstan.

Jawab :
1 - cos nx = 1 - cos 2(\(\mathrm{\frac{nx}{2}}\))
Misalkan \(\mathrm{\frac{nx}{2}}\) = α, sehingga persamaan diatas menjadi

1 - cos nx = 1 - cos 2α

1 - cos nx = 1 - (1 - 2sin²α)

1 - cos nx = 1 - 1 + 2sin²α
1 - cos nx = 2sin²α
Substitusikan kembali α = \(\mathrm{\frac{nx}{2}}\) sehingga diperoleh
1 - cos nx = 2sin²(\(\mathrm{\frac{nx}{2}}\))



 Contoh 10 
Nyatakan bentuk-bentuk berikut ke dalam sinus! (Gunakan sifat pada contoh 9)

(a)  1 - cos 8x
Jawab :
1 - cos 8x = 2sin²(\(\mathrm{\frac{8x}{2}}\))
1 - cos 8x = 2sin²4x

(b)  cos 6x - 1
Jawab :
cos 6x - 1 = -(1 - cos 6x)
cos 6x - 1 = -2sin²(\(\mathrm{\frac{6x}{2}}\))
cos 6x - 1 = -2sin²3x

(c)  3 - 3cos 4x
Jawab :
3 - 3cos 4x = 3(1 - cos 4x)
3 - 3cos 4x = 3. 2sin²(\(\mathrm{\frac{4x}{2}}\))
3 - 3cos 4x = 3. 2sin²2x
3 - 3cos 4x = 6sin²2x



 Contoh 11 
Buktikan identitas berikut :

(a)  csc 2α - cot 2α = tan α
Jawab :
csc 2α - cot 2α = \(\mathrm{\frac{1}{sin\,2\alpha }-\frac{cos\,2\alpha }{sin\,2\alpha }}\)
csc 2α - cot 2α = \(\mathrm{\frac{1\,-\,cos\,2\alpha }{sin\,2\alpha }}\)
csc 2α - cot 2α = \(\mathrm{\frac{2\,sin^{2}\alpha }{2\,sin\,\alpha \,cos\,\alpha }}\)
csc 2α - cot 2α = \(\mathrm{\frac{sin\,\alpha }{cos\,\alpha }}\)
csc 2α - cot 2α = tan α

(b)  cot 2α = \(\mathrm{\frac{cot^{2}\alpha \,-\,1}{2\,cot\,\alpha }}\)
Jawab :
cot 2α = \(\mathrm{\frac{cos\,2\alpha}{sin\,2\alpha }}\)
cot 2α = \(\mathrm{\frac{cos^{2}\alpha \,-\,sin^{2}\alpha }{2\,sin\,\alpha \,cos\,\alpha }}\)
cot 2α = \(\mathrm{\frac{1}{2}\left ( \frac{cos^{2}\alpha }{sin\,\alpha \,cos\,\alpha }-\frac{sin^{2}\alpha }{sin\,\alpha \,cos\,\alpha } \right )}\)
cot 2α = \(\mathrm{\frac{1}{2}\left ( \frac{cos\,\alpha }{sin\,\alpha }-\frac{sin\,\alpha }{cos\,\alpha } \right )}\)
cot 2α = \(\frac{1}{2}\)(cot α - \(\mathrm{\frac{1}{cot\,\alpha}}\))
cot 2α = \(\mathrm{\frac{1}{2}\left ( \frac{cot^{2}\alpha \,-\,1}{cot\,\alpha } \right )}\)
cot 2α = \(\mathrm{\frac{cot^{2}\alpha \,-\,1}{2\,cot\,\alpha }}\)



 Contoh 12 
Untuk 0 < x < 2π, tentukan himpunan penyelesaian dari cos 2x - 3sin x + 1 = 0

Jawab :
cos 2x - 3sin x + 1 = 0
(1 - 2sin²x) - 3sin x + 1 = 0
-2sin²x - 3sin x + 2 = 0
2sin²x + 3sin x - 2 = 0
(sin x + 2)(2sin x - 1) = 0
sin x = -2  atau  sin x = 1/2

sin x = -2   →   tidak mempunyai solusi
sin x = \(\frac{1}{2}\)   →   x = {30°, 150°}
Jadi, HP = {\(\frac{\pi}{6}\), \(\frac{5\pi}{6}\)}

Share this post