Pembahasan soal UN Lingkaran

Pembahasan soal Ujian Nasional (UN) tingkat SMA bidang studi Matematika IPA untuk pokok bahasan Lingkaran yang meliputi persamaan lingkaran dan persamaan garis singgung lingkaran.

Persamaan Lingkaran

Pusat (0, 0) dan jari-jari r :
x² + y² = r²

Pusat (a, b) dan jari-jari r :
(x − a)² + (y − b)² = r²

Bentuk umum persamaan lingkaran :
x² + y² + Ax + By + C = 0

(a, b) = \(\mathrm{\left ( -\frac{A}{2},-\frac{B}{2} \right )}\)
r² = \(\mathrm{\frac{A^{2}}{4}}\) + \(\mathrm{\frac{B^{2}}{4}}\)  − C

Persamaan Garis Singgung Lingkaran di Titik (x₁, y₁)

Pusat (0, 0) dan jari-jari r :
x₁ x + y₁ y = r²

Pusat (a, b) dan jari-jari r :
(x₁ − a)(x − a) + (y₁ − b)(y − b) = r²

Persamaan Garis Singgung Lingkaran dengan Gradien m

Pusat (0, 0) dan jari-jari r :
y = mx ± r\(\mathrm{\sqrt{1+m^{2}}}\)

Pusat (a, b) dan jari-jari r :
y − b = m(x − a) ± r\(\mathrm{\sqrt{1+m^{2}}}\)

Gradien Garis

y = ax + b → m = a
ax + by + c = 0 → m = \(\mathrm{-\frac{a}{b}}\)

Garis p sejajar garis q :
m_p = m_q

Garis p tegak lurus garis q :
m_p . m_q = −1

Gradien garis yang membentuk sudut θ terhadap sumbu-x positif :
m = tan θ

Jarak titik (x₁, y₁) dan (x₂, y₂)

d = \(\mathrm{\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}\)

Jarak titik (x₁, y₁) ke garis ax + by + c = 0

d = \(\mathrm{\left | \frac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right |}\)



UN 2016
Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x² + y² − 2x + 6y − 10 = 0 yang sejajar dengan garis 2x − y + 4 = 0 adalah ...
A.  2x − y = 14
B.  2x − y = 10
C.  2x − y = 5
D.  2x − y = −5
E.  2x − y = −6

Pembahasan :
Misalkan :
m = gradien garis singgung
m_g = gradien garis 2x − y + 4 = 0

2x − y + 4 = 0 → m_g = 2

Karena garis singgung sejajar garis g, maka
m = m_g = 2
m = 2

x² + y² − 2x + 6y − 10 = 0
A = −2 ; B = 6 ; C = −10

(a, b) = \(\mathrm{\left ( -\frac{A}{2},-\frac{B}{2} \right )}\)
(a, b) = \(\mathrm{\left ( -\frac{(-2)}{2},-\frac{6}{2} \right )}\)
(a, b) = (1, −3)

r² = \(\mathrm{\frac{A^{2}}{4}}\) + \(\mathrm{\frac{B^{2}}{4}}\)  − C
r² = \(\mathrm{\frac{(-2)^{2}}{4}}\) + \(\mathrm{\frac{6^{2}}{4}}\)  − (−10)
r² = 20
r = \(\sqrt{20}\)

Persamaan garis singgung lingkaran :
y − b = m(x − a) ± r\(\mathrm{\sqrt{1+m^{2}}}\)
y + 3 = 2(x − 1) ± \(\sqrt{20}\)\(\mathrm{\sqrt{1+2^{2}}}\)
y + 3 = 2x − 2 ± 10
y = 2x − 5 ± 10

y = 2x − 5 + 10 → 2x − y = −5
y = 2x − 5 − 10 → 2x − y = 15

Jawaban : D


UN 2015
Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x² + y² + 2x − 6y − 10 = 0 yang tegak lurus garis x + 2y + 1 = 0 adalah ...
A.  y = 2x − 14
B.  y = 2x − 11
C.  y = 2x + 5
D.  y = 2x + 9
E.  y = 2x + 15

Pembahasan :
Misalkan :
m = gradien garis singgung
m_g = gradien garis x + 2y + 1 = 0

x + 2y + 1 = 0 → m_g = \(-\frac{1}{2}\)

Karena garis singgung tegak lurus garis g, maka
m . m_g = −1
m . \(-\frac{1}{2}\) = −1
m = 2

x² + y² + 2x − 6y − 10 = 0
A = 2 ; B = −6 ; C = −10

(a, b) = \(\mathrm{\left ( -\frac{A}{2},-\frac{B}{2} \right )}\)
(a, b) = \(\mathrm{\left ( -\frac{2}{2},-\frac{(-6)}{2} \right )}\)
(a, b) = (−1, 3)

r² = \(\mathrm{\frac{A^{2}}{4}}\) + \(\mathrm{\frac{B^{2}}{4}}\)  − C
r² = \(\mathrm{\frac{2^{2}}{4}}\) + \(\mathrm{\frac{(-6)^{2}}{4}}\)  − (−10)
r² = 20
r = \(\sqrt{20}\)

Persamaan garis singgung lingkaran :
y − b = m(x − a) ± r\(\mathrm{\sqrt{1+m^{2}}}\)
y − 3 = 2(x + 1) ± \(\sqrt{20}\)\(\mathrm{\sqrt{1+2^{2}}}\)
y − 3 = 2x + 2 ± 10
y = 2x + 5 ± 10

y = 2x + 5 + 10 → y = 2x + 15
y = 2x + 5 − 10 → y = 2x − 5

Jawaban : E


UN 2015
Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (−1, 2) dan menyinggung garis x + y + 7 = 0 adalah ...
A.  x² + y² + 2x + 4y − 27 = 0
B.  x² + y² + 2x − 4y − 27 = 0
C.  x² + y² + 2x − 4y − 32 = 0
D.  x² + y² − 4x − 2y − 32 = 0
E.  x² + y² − 4x + 2y − 7 = 0

Pembahasan :
Jarak titik (x₁, x₂) ke garis \(\mathrm{ax+by+c=0}\) adalah
d = \(\mathrm{\left | \frac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right |}\)

Jari-jari adalah jarak dari titik pusat (−1, 2) ke garis \(\mathrm{x+y+7=0}\).
r = \(\mathrm{\left | \frac{1(-1)+1(2)+7}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}} \right |}\) = 4√2

Jadi, persamaan lingkaran :
(x + 1)² + (y − 2)² = (4√2)²
x² + 2x + 1 + y² − 4y + 4 = 32
x² + y² + 2x − 4y − 27 = 0

Jawaban : B


UN 2013
Sebuah lingkaran memiliki titik pusat (2, 3) dan berdiameter 8 cm. Persamaan lingkaran tersebut adalah ...
A.  x² + y² − 4x − 6y − 3 = 0
B.  x² + y² + 4x − 6y − 3 = 0
C.  x² + y² − 4x + 6y − 3 = 0
D.  x² + y² + 4x + 6y + 3 = 0
A.  x² + y² + 4x − 6y + 3 = 0

Pembahasan :
d = 8 → r = 4

Persamaan lingkaran dengan pusat (2, 3) dan jari-jari 4 adalah
(x − 2)² + (y − 3)² = 4²
x² − 4x + 4 + y² − 6y + 9 = 16
x² + y² − 4x − 6y − 3 = 0

Jawaban : A


UN 2012
Lingkaran L ≡ (x + 1)² + (y − 3)²  = 9 memotong garis y = 3. Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah ...
A.  x = 2 dan x = −4
B.  x = 2 dan x = −2
C.  x = −2 dan x = 4
D.  x = −2 dan x = −4
E.  x = 8 dan x = −10

Pembahasan :
(x + 1)² + (y − 3)²  = 9
(a, b) = (−1, 3)
r² = 9

Titik potong lingkaran dengan garis y = 3 adalah
(x + 1)² + (3 − 3)²  = 9
(x + 1)² = 9
x + 1 = ±3
x + 1 = 3 atau x + 1 = −3
x = 2 atau x = −4

diperoleh titik potong (−4, 3) dan (2, 3)

PGS di titik (2, 3)
(x₁ − a)(x − a) + (y₁ − b)(y − b) = r²
(2 + 1)(x + 1) + (3 − 3)(x − 3)  = 9
3(x + 1) = 9
x + 1 = 3
x = 2

PGS di titik (−4, 3)
(x₁ − a)(x − a) + (y₁ − b)(y − b) = r²
(−4 + 1)(x + 1) + (3 − 3)(x − 3)  = 9
−3(x + 1) = 9
x + 1 = −3
x = −4

Jawaban : A


UN 2008
Persamaan garis singgung melalui titik A(−2, −1) pada lingkaran x² + y² + 12x − 6y + 13 = 0 adalah ...
A.  −2x − y − 5 = 0
B.  x − y + 1 = 0
C.  x + 2y + 4 = 0
D.  3x − 2y + 4 = 0
E.  2x − y + 3 = 0

Pembahasan :
Persamaan lingkaran :
x² + y² + 12x − 6y + 13 = 0
A = 12 ; B = −6 ; C = 13

(a, b) = \(\mathrm{\left ( -\frac{A}{2},-\frac{B}{2} \right )}\)
(a, b) = \(\mathrm{\left ( -\frac{12}{2},-\frac{(-6)}{2} \right )}\)
(a, b) = (−6, 3)

r² = \(\mathrm{\frac{A^{2}}{4}}\) + \(\mathrm{\frac{B^{2}}{4}}\)  − C
r² = \(\mathrm{\frac{12^{2}}{4}}\) + \(\mathrm{\frac{(-6)^{2}}{4}}\)  − 13
r² = 32

Melalui titik (x₁, y₁) = (−2, −1)

Persamaan garis singgung :
(x₁ − a)(x − a) + (y₁ − b)(y − b) = r²
(−2 + 6)(x + 6) + (−1 − 3)(y − 3) = 32
4x + 24 − 4y + 12 = 32
4x − 4y + 4 = 0
x − y + 1 = 0

Jawaban : B


UN 2007
Salah satu persamaan garis singgung lingkaran (x − 2)² + (y + 1)²  = 13 di titik yang berabsis −1 adalah ...
A.  3x − 2y − 3 = 0
B.  3x − 2y − 5 = 0
C.  3x + 2y − 9 = 0
D.  3x + 2y + 9 = 0
E.  3x + 2y + 5 = 0

Pembahasan :
(x − 2)² + (y + 1)²  = 13
(a, b) = (2, −1)
 r²= 13

Untuk absis −1, maka :
(−1 − 2)² + (y + 1)²  = 13
9 + (y + 1)²  = 13
(y + 1)²  = 4
y + 1 = ±2
y + 1 = 2 atau y + 1 = −2
y = 1 atau y = −3

diperoleh titik singgung :
(−1, 1) dan (−1, −3)

Persamaan garis singgung di titik (−1, 1) :
(x₁ − a)(x − a) + (y₁ − b)(y − b) = r²
(−1 − 2)(x − 2) + (1 + 1)(y + 1) = 13
−3x + 6 + 2y + 2 = 13
−3x + 2y − 5 = 0
3x − 2y + 5 = 0

Persamaan garis singgung di titik (−1, −3) :
(x₁ − a)(x − a) + (y₁ − b)(y − b) = r²
(−1 − 2)(x − 2) + (−3 + 1)(y + 1) = 13
−3x + 6 − 2y − 2 = 13
−3x − 2y − 9 = 0
3x + 2y + 9 = 0

Jawaban : D


UN 2006
Persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada garis 2x − 4y − 4 = 0, serta menyinggung sumbu-x negatif dan sumbu-y negatif adalah ...
A.  x² + y² + 4x + 4y + 4 = 0
B.  x² + y² + 4x + 4y + 8 = 0
C.  x² + y² + 2x + 2y + 4 = 0
D.  x² + y² − 4x − 4y + 4 = 0
E.  x² + y² − 2x − 2y + 4 = 0

Pembahasan :
Misalkan pusat lingkaran adalah (a, b).
(a, b) terletak pada garis 2x − 4y − 4 = 0, akibatnya
2a − 4b − 4 = 0   ..................(1)
Lingkaran menyinggung sumbu x negatif dan sumbu y negatif, akibatnya
a = b dengan a, b < 0.

Karena a = b maka persamaan (1) menjadi
2a − 4a − 4 = 0
-2a = 4
a = -2

Diperoleh pusat lingkaran :
(a, b) = (−2, −2)

dengan jari-jari :
r = |a| = |b| = 2

Persamaan lingkaran :
(x + 2)² + (y + 2)²  = 2²
x² + 4x + 4 + y² + 4y + 4 = 4
x² + y² + 4x + 4y + 4 = 0

Jawaban : A


UN 2003
Salah satu garis singgung yang bersudut 120° terhadap sumbu-x positif pada lingkaran dengan ujung diameter titik (7, 6) dan (1, −2) adalah ...
A.  y = −x√ 3 + 4√ 3 + 12
B.  y = −x√ 3 − 4√ 3 + 8
C.  y = −x√ 3 + 4√ 3 − 4
D.  y = −x√ 3 − 4√ 3 − 8
E.  y = −x√ 3 + 4√ 3 + 22

Pembahasan :
Diameter lingkaran adalah jarak dari titik (7, 6) ke titik (1, −2), yaitu :
d = \(\sqrt{(7-1)^{2}+(6-(-2))^{2}}\) = 10
r = \(\frac{1}{2}\)d = 5
r = 5

Pusat lingkaran adalah titik tengah diameter, yaitu :
(a, b) = \(\left ( \frac{7+1}{2},\,\frac{6+(-2)}{2} \right )\) = (4, 2)
(a, b) = (4, 2)

Garis singgung membentuk sudut 120° terhadap sumbu-x positif, sehingga :
m = tan 120°
m = −√3

Persamaan garis singgung lingkaran :
y − b = m(x − a) ± r\(\mathrm{\sqrt{1+m^{2}}}\)
y − 2 = −√3(x − 4) ± 5\(\mathrm{\sqrt{1+(-\sqrt{3})^{2}}}\)
y − 2 = −√3x + 4√3 ± 10
y = −√3x + 4√3 ± 12

y = −√3x + 4√3 + 12
y = −√3x + 4√3 − 12

Jawaban : A

Share this post